Кафедра математики
физического факультета МГУ
1. Введение.
Понятие математической модели. Сплошные среды и способы их описания. Переменные Эйлера и Лагранжа. Основные уравнения: общее уравнение движения жидкого объема, уравнение неразрывности.
2. Математические модели идеальных сред.
Понятие идеальной жидкости. Уравнение Эйлера. Модели идеальных несжимаемых, баротропных и бароклинных сред. Постановка внутренних и внешних начально-краевых задач гидродинамики идеальных сред. Условия на твердой непроницаемой и свободной поверхности.
3. Математические модели вязких сред.
Понятие вязкой жидкости. Закон Навье-Стокса. Модели вязких несжимаемых, баротропных и бароклинных сред. Внешние и внутренние задачи гидро- и газодинамики с учетом вязкости. Условия на твердой непроницаемой поверхности, на поверхности раздела двух сред с различными физическими характеристиками и на свободной поверхности.
4. Примеры модельных задач и некоторые аналитические методы их исследования.
4.1. Точные решения уравнений гидродинамики.
Плоские задачи о движении тел в идеальной жидкости. Плоское потенциальное движение, комплексная скорость и комплексный потенциал. Примеры плоского потенциального движения в односвязных и двухсвязных областях (однородный поступательный поток, источник (сток), диполь, вихревая точка). Общая постановка задачи о движении цилиндра с произвольным гладким сечением в идеальной жидкости. Движение и обтекание кругового цилиндра. Применение метода конформных отображений при решении плоских задач гидродинамики.
Распределение скоростей в идеальной несжимаемой жидкости при ускоренном движении сферы: математическая модель и алгоритм решения.
Моделирование стационарных течений вязкой однородной жидкости в трубах с различными сечениями: течение в трубах с круговым и эллиптическим сечениями, течение в трубе с прямоугольным сечением и в плоском канале с твердыми стенками.
Нестационарное течение вязкой однородной жидкости в трубе с круговым сечением: математическая модель и алгоритм решения.
Моделирование одномерных нестационарных слоистых течений: тангенциальный разрыв, движение твердой поверхности, течение под действием касательного напряжения.
4.2. Приближенные методы интегрирования уравнений гидродинамики.
Предельные случаи больших и малых чисел Рейнольдса. Линеаризация уравнений гидродинамики в случае малых чисел Рейнольдса: двумерное течение вязкой жидкости между бесконечными пластинами, медленное движение сферы в вязкой среде. Течения, характеризуемые большими числами Рейнольдса: уравнения Прандтля и автомодельные решения. Примеры модельных задач: обтекание полубесконечной пластины и течение в суживающемся канале.
Методы линеаризации уравнений гидродинамики. Акустические колебания в идеальных и слабовязких средах: звуковые колебания идеального разреженного газа в ограниченной области; асимптотическое решение линеаризованных задач о свободных и вынужденных колебаниях газа с малой вязкостью. Явление резонанса. Асимптотический анализ в задаче моделирования малых колебаний стратифицированной среды с малой вязкостью в приближении Буссинеска. Метод Люстерника-Вишика.
