Кафедра математики
физического факультета МГУ
Представленный спецкурс посвящен методике получения асимптотических приближений по малому параметру для решений нелинейных задач типа «реакция-диффузия-адвекция». Модели указанного типа описываются нелинейными уравнениями параболического типа с малыми параметрами при старших производных и возникают при математическом моделировании различных физических явлений в случае сильной пространственной неоднородности среды (например, обтекания воздушным потоком слабо проницаемого растительного препятствия); при наличии резкого изменения параметров физической системы (температура, плотность и т.п.) на границах разделов сред; при моделировании полупроводниковых систем; исследовании поведения автоволновых фронтов в задачах биофизики и многих других. Особенность подобных задач является возможность образования так называемых контрастных структур, т.е. областей с большими градиентами решения: пограничных слоев, стационарных резких внутренних переходных слоев или движущихся фронтов, положение и скорость движения которых заранее неизвестны, а определяются свойствами и взаимодействием входящих в уравнения нелинейностей, описывающих процессы реакции, диффузии и адвекции. Наличие областей с большими градиентами решения существенно усложняет численное моделирование, а зачастую делает его практически невозможным без предварительного анализа структуры решения. Асимптотические методы как раз позволяют эффективно провести качественный анализ задачи, выявить основные особенности решения. Важной отличительной особенностью сингулярно возмущенных задач является то, что с одной стороны, наличие малого параметра при производных затрудняет реализацию численного счета, и чем меньше параметр, тем больше трудностей встречают численные методы. С другой стороны, уменьшение параметра ведет к повышению точности асимптотического приближения. Поэтому комбинация асимптотического анализа и численных методов, в которой априорная информация, полученная в результате асимптотического анализа, используется для улучшения свойств разностной схемы, представляется весьма эффективной для исследования сингулярно возмущенных задач и создания экономичных и эффективных численных методов.
Основной идеей асимптотического подхода является расщепление сложной нелинейной математической модели на ряд более простых задач. Это позволяет выделять существенную информацию о характере решения, например, определять асимптотику положения стационарного внутреннего слоя или движущегося фронта из уравнений, пространственная размерность которых как минимум на единицу ниже размерности исходной задачи, и, следовательно, существенно снизить затраты вычислительных ресурсов и время счета при решении пространственно-многомерных задач. Кроме того, данный подход дает возможность сведения пространственно-многомерных задач по определению локализации движущихся фронтов к серии одномерных, что в свою очередь, позволяет весьма эффективно использовать технологию параллельных вычислений.
