Абстрактные дифференциальные уравнения с приложениями в математической физике

• Панин Александр Анатольевич , доцент

Программа курса:

1. Теорема существования и единственности типа теоремы Коши—Пикара.
   1. Теорема о непродолжаемом решении ОДУ в банаховом пространстве с локально липшицевой правой частью. Её приложения: соболевские уравнения и режимы с обострением в них.
   2. Обобщение на интегральные уравнения. Возможность существования существенно особой точки.
2. Теоремы существования типа теоремы Пеано.
   1. Теорема Пеано в конечномерном пространстве. Неединственность.
   2. Пример неединственности на каждом промежутке.
   3. Её несправедливость ни в каком бесконечном банаховом пространстве.
   4. Её слабый вариант в рефлексивном банаховом пространстве.
   5. Приложения.
3. Неограниченные линейные операторы. Теорема Хилле—Иосиды. Элементы теории полугрупп.
   1. Классические задачи математической физики (теплопроводность, колебания) с точки зрения теории полугрупп.

Для понимания курса необходимо владение элементами функционального анализа в объёме сведений о банаховых и гильбертовых пространствах и курса интегральных уравнений, желательно знакомство с пространствами Соболева.

1. Волков В. Т., Ягола А. Г. Интегральные уравнения.

2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.

3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.

4. Brezis. H. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations.

1. А. Картан. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.

Лекция 01. Абстрактные функции
Лекция 02. Простейший случай теоремы Пикара
Лекция 03. Теорема о непродолжаемом решении задачи Коши для неавтономного уравнения с ограниченно липшиц-непрерывной правой частью
Лекция 04. Приложение абстрактной теоремы Пикара к исследованию задач математической физики: начально-краевая задача для уравнения Бенджамена—Бони—Махони—Бюргерса

Лекция 05. Пример глобальной разрешимости
Лекция 06. Различные обобщения и границы применимости

Лекция 07. Неограниченные линейные операторы
Лекции 08—09. Теорема Хилле — Иосиды
Лекции 10—11. Регулярность. Самосопряжённые операторы

Лекция 12. Уравнение теплопроводности. Волновое уравнение