Разностные методы в математической физике

Настоящий курс посвящен методам построения и исследования разностных схем для ряда краевых и начально-краевых задач математической физики, а также некоторым методам решения соответствующих систем разностных уравнений.

• Белов Александр Александрович , ассистент
• Боголюбов Александр Николаевич , профессор  

1. Введение.

1.1. Этапы математического моделирования (на примере задачи внешней баллистики).

1.2. Классы задач, рассматриваемых в курсе. Жесткие задачи.

1.3. Методы составления разностных схем. Метод разностной аппроксимации. Интегро-интерполяционный метод. Метод прямых. Метод спектрального разложения.

2. Основные понятия теории разностных схем.

2.1. Невязка. Аппроксимация.

2.2. Устойчивость. Классификация устойчивости. Методы исследования устойчивости (метод гармоник, принцип максимума, метод операторных неравенств).

2.3. Сходимость. Теоремы Рябенького-Филлипова. Обоснование сходимости в результате численного эксперимента.

2.4. Обусловленность. Критерии обусловленности. Саморегуляризация. Теоремы о регуляризирующих свойствах разностной аппроксимации.

2.5. Самосогласованность.

2.6. Консервативность.

3. Задачи Коши для ОДУ.

3.1. Классификация схем. Классификация устойчивости.

3.2. Схемы Рунге-Кутты. Общий вид. Аппроксимация. Устойчивость. Интерполяционность. Оптимальные коэффициенты. Теорема о линейном первом интеграле.

3.3. Схемы Розенброка. Общий вид. Аппроксимация. Устойчивость. Ложная сходимость (на примере тепловой волны Самарского-Соболя).

3.4. Оптимальные обратные схемы Рунге-Кутты. Общий вид. Аппроксимация. Устойчивость.

3.5. Жесткие задачи Коши. Структура решения. Плохая обусловленность.

3.6. Аргумент «длина дуги интегральной кривой».

3.7. Геометрически-адаптивные сетки. Оптимальная сетка. Алгоритм сгущения сеток. Вычисление кривизны интегральной кривой.

3.8. Задачи Коши для ОДУ с особыми точками. Классификация особенностей. Диагностика сингулярностей. Продолжение решения за полюс.

4. Уравнение переноса.

4.1. Постановка и общие свойства задачи. Метод характеристик.

4.2. Монотонность. Теорема Годунова.

4.3. Схемы бегущего счета. Аппроксимация. Устойчивость. Монотонность. Диссипативность.

4.4. Квазилинейное уравнение переноса. Обобщенные решения (на примере уравнения Ван-Хопфа). Дивергентные формы уравнения и законы сохранения. Условие на разрыве.

4.5. Консервативные схемы. Пример неконсервативной схемы, ложная сходимость. Псевдовязкость.

5. Параболические уравнения.

5.1. Постановка и общие свойства задачи. Жесткость.

5.2. Метод прямых. Схемы CROS, ROS1, «с полусуммой». Аппроксимация. Устойчивость. Диссипативность. Монотонность. Асимптотическая устойчивость.

5.3. Задачи в слоистых средах. Постановка задач. Бикомпактная схема.

5.4. Квазилинейное уравнение. Итерационная схема.

5.5. Многомерные уравнения. Эволюционно факторизованная схема. Аппроксимация. Устойчивость.

6. Эллиптические уравнения.

6.1. Задачи, допускающие факторизацию. Счет на установление. Логарифмический набор шагов. Оценки сходимости. Апостериорные оценки точности.

6.2. Сложные задачи. Методы сопряженных направлений. Наискорейший спуск. Минимальные невязки. Сопряженные градиенты. Сопряженные невязки. Симметризованные сопряженные градиенты. Оценки сходимости.

7. Гиперболические уравнения.

7.1. Постановка и общие свойства задачи.

7.2. Трехслойные схемы. Явная схема «крест». Неявная схема. Аппроксимация. Устойчивость.

7.3. Двухслойные схемы. Метод прямых. Схемы CROS, «с полусуммой», явная.

7.4. Многомерные задачи. Эволюционно факторизованная схема. Аппроксимация. Устойчивость.

1. Калиткин Н.Н., Альшина Е.А. Численные методы. Книга 1. Численный анализ. М.: Изд. центр "Академия", 2013.

2. Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Численные методы. Книга 2. Методы математической физики. М.: Изд. центр "Академия", 2013.

Белов А.А., Калиткин Н.Н. Эволюционная факторизация и сверхбыстрый счет на установление // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 69 (2013), 36 с. http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2013-69

Текущие задания для дистанционного обучения.

20.03.

1) Теоретический материал (по учебнику Калиткина и Корякина).
а) Разобрать задание граничных условий в эволюционно-факторизованной схеме (стр. 205-207). В дальнейшем по методу эволюционной факторизации будет задано второе практическое задание.
б) Разобрать трехслойные схемы для гиперболических уравнений (стр. 240-246). 

2) Практическая часть. Выполнить первое практическое задание и прислать по нему небольшой отчет с кратким описанием используемых методов и результатов расчетов. Форма отчета свободная. Отчет должен быть прислан до 27.03.

22.03. 

Дистанционная консультация по первому практическому заданию

27.03.

Сдача первого практического задания.

06.04.

1) Теоретический материал. Разобрать метод счета на установление для решения эллиптических задач (учебник Калиткина и Корякина, стр. 209-222). Разобрать логарифмические наборы шагов (Белов, Калиткин. Эволюционная факторизация... // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2013. № 69).

2) Практическая часть. Выполнить второе практическое задание. Представить отчет в произвольной форме (до 6.05).