Кафедра математики
физического факультета МГУ
Настоящий курс посвящен методам построения и исследования разностных схем для ряда краевых и начально-краевых задач математической физики, а также некоторым методам решения соответствующих систем разностных уравнений.
Раздел 1. Предварительные сведения теории разностных схем.
Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций. Линейные разностные уравнения m-го порядка. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Разностная задача Штурма-Лиувилля на отрезке. Свойства собственных функций и собственных значений. Разностные теоремы вложения.
Раздел 2. Простейшие методы исследования разностных схем на устойчивость.
Принцип максимума. Теоремы сравнения. Мажоранта. Примеры использования принципа максимума для исследования схем на устойчивость по начальным и граничным условиям. Спектральный анализ разностных схем. Примеры использования метода гармоник для исследования на устойчивость многомерных разностных схем и разностных схем для систем уравнений. Метод разделения переменных.
Раздел 3. Теория устойчивости разностных схем.
Операторно-разностные схемы. Канонический вид двухслойной и трехслойной схем. Устойчивость двухслойных схем по начальным данным и правой части уравнения. Достаточные условия устойчивости в сеточных линейных нормированных пространствах. Энергетические тождества. Устойчивость в энергетических пространствах. Устойчивость трехслойных схем.
Раздел 4. Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики.
Продольно-поперечная схема для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами в прямоугольной области. Экономичные факторизованные схемы: понятие факторизованной схемы, схемы "предиктор-корректор" для уравнения теплопроводности в прямоугольном параллелепипеде. Схема Кранка-Николсона (схема с "полусуммой") и ее эволюционная факторизация. Метод суммарной аппроксимации. Сведение многомерной задачи к цепочке одномерных задач.
Раздел 5. Методы решения сеточных уравнений.
Прямые методы решения сеточных уравнений: метод монотонной правой прогонки, метод окаймления, метод немонотонной прогонки, матричная прогонка. Итерационные методы решения сеточных уравнений как задачи на установление. Двухслойные итерационные схемы. Итерационный метод переменных направлений для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Эволюционно-факторизованная схема для уравнения Пуассона в прямоугольных областях. Выбор оптимальных параметров.
Раздел 6. Некоторые разностные схемы для нелинейных задач математической физики.
1. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
2. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.
3. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Накуа, 1978.
4. Калиткин Н.Н., Альшина Е.А. Численные методы. Книга 1. Численный анализ. М.: Изд. центр "Академия", 2013.
5. Кплиткин Н.Н., Корякин П.В. Численные методы. Книга 2. Методы математической физики. М.: Изд. центр "Академия", 2013.
6. Белов А.А., Калиткин Н.Н. Эволюционная факторизация и сверхбыстрый счет на установление // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2013. №69. 36 с. URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2013-69
