Метод дифференциальных неравенств в нелинейных задачах

В курсе лекций излагаются базовые теоремы метода дифференциальных неравенств, который в настоящее время является одним из основных методов исследования нелинейных дифференциальных уравнений. Наряду с  результатами для  начальных и краевых задач для  ОДУ – теоремами Чаплыгина, Нагумо, приводятся современные результаты для нелинейных уравнений в частных производных. Излагаются основы применения метода дифференциальных неравенств в теории устойчивости, рассматривается метод монотонных итераций в параболических и эллиптических задачах. Вводится понятие асимптотического метода дифференциальных неравенств. Каждый из разделов курса завершается примерами из различных прикладных задач.

• Нефёдов Николай Николаевич (заведующий кафедрой)

1. Начальные задачи для ОДУ. Теоремы Чаплыгина для скалярных уравнений и систем. Примеры и приложения.
2. Краевые задачи для ОДУ. Теоремы Нагумо. 
3. Применение теоремы Нагумо для сингулярно возмущенной задачи Неймана – понятие об асимптотическом методе дифференциальных неравенств.
4. Дифференциальные уравнения с частными производными эллиптического типа. Постановка задачи.Верхние и нижние решения. Теорема о дифференциальных неравенствах. 
5. Метод монотонных итераций для эллиптической задачи. Теорема существования решения.
6. Теорема единственности решения. Примеры и приложения.
7. Дифференциальные уравнения с частными производными параболического типа. Постановка задачи.Верхние и нижние решения. Теорема о дифференциальных неравенствах. 
8. Метод монотонных итераций для параболической задачи. Теорема существования решения. 
9. Теорема единственности решения. Примеры неединственности решения. Примеры и приложения.
10. Устойчивость стационарных решений. Устойчивость по Ляпунову. Теорема об асимптотической устойчивости и неустойчивости стационарного решения.Примеры и приложения.

1. А.Б. Васильева, Н.Н. Нефедов. Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина. (Некоторые разделы курса лекций «Дифференциальные уравнения»). Учебное пособие. Физ. Фак. МГУ. 2007.
2. А.Б. Васильева, Н.Н. Нефедов. Нелинейные краевые задачи. Учебное пособие. Физ. Фак. МГУ. 2006.
3. Н.Н. Нефедов. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними  слоями // Дифференц.уравн. 1995. Т. 31, N 7. C. 1132.