Кафедра математики
физического факультета МГУ
Д.ф.-м.н., проф. А. Г. Ягола
Многие математические задачи, возникающие при интерпретации данных физического эксперимента, относятся к классу так называемых некорректно поставленных, или, короче, некорректных задач. Требования к корректности постановки математической задачи были сформулированы в 1932 г. Ж. Адамаром. Мы приведем их на примере задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения: dy/dt = -ay, y(0) = y0. Здесь y = y(t), t изменяется в интервале [0, T]. (К такой задаче приводит, в частности, исследование процесса распада радиоактивного элемента). Решение этой задачи y(t,y0) = y0exp(-at) удовлетворяет всем требованиям корректности по Адамару, а именно: 1) оно существует для любых начальных условий y0; 2) оно единственно; 3) оно непрерывно (в равномерной метрике) зависит от начальных условий y0; это означает, что малым изменениям y0 соответствуют малые (в выбранной метрике) изменения y(t,y0) — решение устойчиво по отношению к малым возмущениям входной информации y0.
Для некорректных задач, по крайней мере, одно из перечисленных выше условий не выполняется, причем к наиболее серьезным неприятностям приводит нарушение условия 3) — малым возмущениям входной информации могут соответствовать сколь угодно большие возмущения решения (решение неустойчиво). Типичным примером некорректно поставленной задачи является интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода.
Методы решения некорректных задач получили интенсивное развитие в 60-е годы, и определяющую роль в этом процессе сыграли работы А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова и др. Регуляризирующие алгоритмы (понятие, введенное А.Н. Тихоновым) позволяют получить устойчивое приближение к истинному решению некорректной задачи: иными словами, при стремлении ошибки входной информации к нулю приближенное решение сходится к точному.
Большое поле приложения современных методов решения некорректных задач дает астрофизика. Астрофизик не может активно воздействовать на процессы, происходящие на далеких звездах и галактиках, ему приходится делать заключения о физических характеристиках весьма удаленных объектов по их косвенным проявлениям, доступным измерениям на Земле или вблизи Земли (на космических станциях). Прекрасные примеры некорректных задач можно найти в медицине: прежде всего, хочется отметить вычислительную (или компьютерную) томографию. Пионерские работы в этой области А. Кормака и Г. Хаунсфилда были отмечены в 1979 г. Нобелевской премией. Хорошо известны приложения некорректных задач в геофизике (на самом деле, легче и дешевле судить о том, что делается под поверхностью Земли, решая обратные задачи, чем рыть глубокие шахты), физике плазмы, радиоастрономии, обработке изображений, спектроскопии, химии, экономике оптимального управления и т.д., и т.п.
На кафедре математики разрабатываются численные методы решения линейных и нелинейных некорректно поставленных задач с различными априорными ограничениями. Эти методы применяются для решения прикладных физических задач. Научную группу, занимающуюся исследованием некорректных задач и их приложений, возглавляет заслуженный профессор МГУ, лауреат премии Правительства РФ в области образования, Ломоносовской премии и премии Ленинского комсомола профессор А.Г. Ягола. Вместе с ним ведет активную научную работу его ученик доцент Д.В. Лукьяненко.
Поддерживаются самые тесные контакты с коллегами из США, Японии, Германии, Австрии, Китая, Сингапура, Польши, Индии, Швеции и других стран.
Научный семинар «Обратные задачи математической физики».
Контакты: Дмитрий Витальевич Лукьяненко ([email protected]).
