Алексей Георгиевич Свешников родился 19 ноября 1924 г. в г. Саратове в семье профессора Саратовского Университета Георгия Николаевича Свешникова, окончившего в 1911 г. Московский Университет, а с 1930 г. заведовавшего кафедрой теоретической механики Московского Авиационного Института. Мать Алексея Георгиевича - Вера Константиновна Свешникова (Снитко) - в 1914 г. окончила Московские Высшие Женские Курсы и первые годы преподавала математику в средних учебных заведениях Москвы, затем посвятила себя семье.
Алексей Георгиевич в 1932 поступил в московскую среднюю школу, которую окончил в 1941 г. Участник Великой Отечественной войны, в апреле 1945 г. был тяжело ранен на 4- ом Украинском фронте. Награжден орденами «Красная звезда» (1945 г.) и «Отечественная война I-ой ст.» (1995 г.), медалью «За победу над Германией» (1945 г.) и многими юбилейными медалями. В 1945 г. после демобилизации поступил на физический факультет МГУ, который окончил в 1950 г. и был принят в аспирантуру кафедры математики того же факультета. А.Г. Свешников - прямой ученик акад. А.Н. Тихонова, оказавшего определяющее влияние на всю его научную и педагогическую деятельность, проходившую исключительно в МГУ с момента защиты им в июне 1953 г. кандидатской диссертации «Принцип излучения и единственность решения задач дифракции».
В своей докторской диссертации «Методы исследования распространения колебаний в нерегулярных волноводах» (1963 г.) Алексей Георгиевич развил эффективные алгоритмы исследования волноведущих систем, основанные на разработанных им проекционных методах решения широкого круга задач математической физики. В дальнейшем он принимал активное участие в создании новых методов математического проектирования систем различного назначения, за что в числе ряда сотрудников МГУ, возглавляемых А.Н. Тихоновым, был удостоен Государственной Премии СССР (1976 г.). Большой цикл работ Алексея Георгиевича посвящен проблеме создания и алгоритмической реализации математических моделей физики плазмы и динамики сплошных сред, обратным задачам синтеза и распознавания многослойных оптических покрытий, прямым и обратным задачам теории дифракции и задачам распространения колебаний в волноведущих системах. Его активное участие в развитии системы коллективного пользования ЭВМ МГУ в научных исследованиях и учебном процессе совместно с рядом сотрудников МГУ было отмечено Премией Совета Министров СССР (1982 г.). В 1991 г. Алексей Георгиевич был избран действительным членом (академиком) Российской Академии Естественных Наук. Он - заслуженный деятель науки РСФСР (1980 г.). Под его руководством защищено 45 кандидатских диссертаций, 15 его учеников стали докторами физ.-мат. наук.
В 1966 г. Алексей Георгиевич утвержден в ученом звании профессора по кафедре математики, с 1971 по 1993 гг. заведовал кафедрой математики физического факультета МГУ, в настоящее время - профессор этой кафедры. Читал лекции по общим курсам «Методы математической физики» и «Теория функций комплексного переменного», а также специальные курсы «Граничные задачи электродинамики» и «Математические задачи теории дифракции».
А.Г. Свешников - заслуженный профессор МГУ (1994 г.), ему присуждена Ломоносовская премия МГУ за педагогическую деятельность (1999 г.), награжден орденами «Знак почета» (1976 г.), «Трудовое Красное Знамя» (1984 г.), нагрудным знаком «Почетный работник высшего профессионального образования Российской Федерации» (1994 г.) и Почетной грамотой ВАК России (1999 г.), а также медалью «За доблестный труд в ознаменование 100-летия со дня рождения В.И. Ленина» и многими другими медалями.
Алексей Георгиевич - член КПСС с 1950 г., неоднократно избирался в руководящие органы МГУ, в 1991 г. прекратил свою партийную деятельность.
Алексей Георгиевич автор свыше 400 научных работ, в том числе 6 монографий, монографических обзоров и 5 учебников и учебных пособий.
А.Г. Свешников скончался 4 июля 2022г. в возрасте 97 лет.
Юбилейные статьи, посвященные Алексею Георгиевичу, опубликованы во многих центральных научных журналах, в том числе в журнале «Дифференциальные уравнения» (1975 г., 1985 г.), «Журнале вычислительной математики и математической физики» (1985 г., 1995 г., 2000 г.), журнале «Успехи математических наук» (1985 г., 1995 г.), также биографические сведения об Алексее Георгиевиче помещены в «Биографическом словаре - Профессора и доктора наук МГУ» (1997 г.) и ежегоднике «Московский университет-99».