Кафедра математики
физического факультета МГУ
Раздел специального практикума "Разностные схемы" посвящен ознакомлению с некоторыми разностными схемами для краевых и начально-краевых задач математической физики. Вводится понятие разностной схемы, а также ее аппроксимации, устойчивости и сходимости. Рассматривается ряд задач, посвященных построению и реализации разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений теплопроводности и колебаний.
Раздел 1. Понятие разностной схемы.
Сеточные функции и разностные операторы. Примеры сеточных норм. Понятие разностной схемы. Порядок аппроксимации, устойчивость, сходимость. Примеры разностной аппроксимации дифференциальных операторов, уравнений, краевых задач. Метод прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Примеры численного решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
Раздел 2. Разностные схемы для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке.
Понятие явной, неявной и симметричной схем для линейного одномерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Порядок аппроксимации. Условие устойчивости явной схемы. Реализация явной, неявной и симметричной схем для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке. Аппроксимация граничных условий, содержащих производные по координате, с первым и вторым порядком погрешности аппроксимации.
Раздел 3. Разностные схемы для начально-краевой задачи для уравнения колебаний на отрезке.
Явная схема "крест" и неявная схема для одномерного уравнения колебаний с постоянными коэффициентами. Порядок аппроксимации. Условие устойчивости. Реализация схемы "крест" и неявной схемы для начально-краевой задачи для уравнения колебаний на отрезке. Аппроксимация начальных условий со вторым порядком погрешности аппроксимации по времени. Аппроксимация граничных условий, содержащих производные по координате, со вторым порядком погрешности аппроксимации. Фиктивные узлы вблизи границы.
Раздел 4. Спектральный анализ устойчивости разностных схем.
Идея метода гармоник исследования разностных схем на устойчивость по начальным условиям. Примеры использования метода гармоник: получение условия устойчивости явной схемы и безусловная устойчивость неявной схемы для одномерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами, исследование на устойчивость схемы "крест" и неявной схемы для одномерного уравнения колебаний с постоянными коэффициентами.
Раздел 5. Схемы бегущего счета для линейного уравнения переноса.
Четыре основных шаблона схем бегущего счета для линейного одномерного уравнения переноса. Порядок погрешности аппроксимации. Устойчивость схем бегущего счета по начальным данным. Метод "замораживания" коэффициентов исследования устойчивости схем для линейных уравнений с переменными коэффициентами. Реализация схем бегущего счета для начально-краевой задачи для линейного уравнения переноса.
Раздел 6. Разностные схемы для квазилинейного уравнения переноса.
Примеры реализации линейных и нелинейных схем для квазилинейного уравнения переноса. Линеаризация схем и исследование на устойчивость. Итерационный метод Ньютона приближенного решения нелинейных алгебраических уравнений. Консервативность и ложная сходимость разностных схем. Пример реализации консервативных схем для задачи с разрывным решением. Монотонность схем.
Раздел 7. Схема переменных направлений для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в прямоугольнике.
Основная идея схемы переменных направлений: переход между целыми слоями по времени через промежуточный слой, аппроксимация граничных условий. Устойчивость и порядок аппроксимации схемы. Реализация схемы переменных направлений.
Раздел 8. Разностные схемы для уравнения колебаний в двумерном случае.
Уравнение колебаний в прямоугольной области. Аппроксимация начальных условий со вторым порядком погрешности аппроксимации по времени. Схема "крест" в двумерном случае. Условия устойчивости. Неявная схема для уравнения колебаний в прямоугольнике. Эволюционная факторизация. Устойчивость. Аппроксимация граничных условий. Пример реализации схемы "крест" и эволюционно-факторизованной схемы для начально-краевой задачи для уравнения колебаний в прямоугольнике.
Раздел 9. Однородные разностные схемы. Консервативность разностных схем.
Стационарное уравнение теплопроводности на отрезке. Аппроксимация условий сопряжения в случае разрывного коэффициента теплопроводности. Схемы сквозного счета. Пример неконсервативной схемы. Интегро-интерполяционный метод построения консервативных разностных схем. Пример построения и реализации консервативной схемы.
Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.
Калиткин Н.Н., Альшина Е.А. Численные методы. Книга 1. Численный анализ. М.: изд. центр "Академия", 2013.
Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Численные методы. Книга 2. Методы математической физики. М.: изд. центр "Академия", 2013.
Тема 1: понятие разностной схемы, примеры разностных схем для краевой задачи на отрезке.
Тема 2: уравнение теплопроводности на отрезке, явная, неявная и симметричная схемы.
Дополнение к теме 2: пример реализации явной, неявной и симметричной схем в среде scilab
Тема 3: уравнение колебаний на отрезке, явная схема "крест" и неявная схемы.
Дополнение к теме 3: пример реализации схемы "крест" и неявной схемы в среде scilab
Тема 4: исследование разностных схем на устойчивость методом гармоник.
Тема 5: схемы бегущего счета для линейного уравнения переноса.
Тема 6: линейные и нелинейные схемы для квазилинейного уравнения переноса.
Тема 7: схема переменных направлений для уравнения теплопроводности в прямоугольнике
Тема 8: схема "крест" и эволюционно-факторизованная схема для уравнения колебаний в прямоугольнике.
Дополнение к теме 8: пример реализации схемы "крест" и эволюционно-факторизованной схемы
Тема 9: однородные разностные схемы.
Дополнение к теме 9: пример реализации схемы с условиями сопряжения и консервативной схемы для стационарного уравнения теплопроводности
