Специальные функции математической физики

Курс "Специальные функции математической физики" представляет собой возрожденный курс проф. А.Ф. Никифорова, читавшийся ранее на кафедре математики. В курсе рассматривается единообразный подход к построению частных решений обобщенного уравнения гипергеометрического типа, достаточно часто встречающегося в задачах математической и теоретической физики. Этот подход основан на использовании интегральной обобщенной формулы Родрига. Предлагаемый подход иллюстрируется на примере нескольких классических задач математической физики и квантовой механики.

• Мухартова Юлия Вячеславовна , доцент

1. Обобщенное уравнение гипергеометрического типа и алгоритм его упрощения. Полиномы гипергеометрического типа. Интегральное представление для функций гипергеометрического типа.

    

2. Классические ортогональные полиномы. Полиномы Якоби, Лагерра, Эрмита. Поведение второго решения дифференциального уравнения для классических ортогональных полиномов. Задача Штурма-Лиувилля. Полнота и замкнутость системы классических ортогональных полиномов.

    

3. Примеры использования классических ортогональных полиномов в физике: задача о нахождении уровней энергии и собственных функций для линейного гармонического осциллятора; решение уравнения Шредингера для частицы в центрально-симметричном поле.

    

4. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Разностный аналог уравнения гипергеометрического типа. Формула Родрига. Полиномы Хана, Чебышева, Мейкснера, Кравчука и Шарлье.

    

5. Уравнение гипергеометрического типа. Построение частных решений. Некоторые функциональные соотношения.

    

6. Основные свойства функций гипергеометрического типа: рекуррентные соотношения, разложения в степенные ряды. Выбор линейно независимых решений гипергеометрического уравнения при различных значениях параметров.

    

7. Примеры решения некоторых задач математической физики и квантовой механики.

1. А.Ф. Никифоров, В.Ф. Уваров "Специальные функции математической физики", М.: Наука, 1978.

2. Г. Бейтмен, А. Эрдейи "Высшие трансцендентные функции", М.: Наука, 1965.

3. Н.Н. Лебедев "Специальные функции и их приложения", М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

4. И.И. Гольдман, В.Д. Кривченков "Сборник задач по квантовой механике", УНЦ ДО, Москва, 2001.

Тема №1. Основы теории специальных функций.

Тема №2. Некоторые вспомогательные сведения теории специальных функций.

Тема №3. Классические ортогональные полиномы.

Тема №4. Цилиндрические функции.

Тема №5. Гипергеометрические функции, вырожденные гипергеометрические функции и функции Эрмита.

Тема №6