Кафедра математики
физического факультета МГУ
В курсе мы детально изучаем уравнение теплопроводности во всем пространстве. Строим решение задачи Коши, доказываем слабый принцип максимума и доказываем результат о единственности решения задачи Коши в классе А. Н. Тихонова. Далее рассматривается слабый и сильный принцип максимума в случае общего параболического оператора с некоторыми следствиями и доказательство единственности решения задачи Коши в классе Тихонова. Кроме того, мы рассматриваем теорему типа Жиро и доказываем единственность второй и третьей краевых задач. Наконец, мы доказываем важные признаки сравнения для первой, второй и третьей краевых задач. На основе параболических пространств Гельдера и так называемых оценок Шаудера, вывод некоторых согласно методу Сафонова приводится, методом продолжения по параметру доказана теорема об однозначной разрешимости первой краевой задачи для общего равномерно параболического оператора второго порядка с гельдеровскими коэффициентами и гельдеровской правой частью. В дальнейшем основное внимание в конспекте лекций уделено вопросам построения фундаментальных решений параболических операторов второго порядка на основе явно заданного параметрикса согласно методу Леви. На основе построенного фундаментального решения в классе Тихонова доказана единственность решения задачи Коши и приведен контрпример.
Параболические уравнения
Читается в 7-ом семестре.
2 часа лекций в неделю, семинарские занятия
Лекция 1. Уравнение теплопроводности. Фундаментальное решение. Решение Задачи Коши. Слабый принцип максимума в ограниченной области и во всем пространстве. Единственность решения задачи Коши в классе А. Н. Тихонова и С. Тэклинда.
Лекция 2. Основные понятия теории параболических уравнений. Слабый принцип максимума. Сильный принцип максимума и его следствия. Неотрицательные решения задачи Коши. Единственность решения первой краевой задачи. Теорема типа Жиро. Единственность решения второй и третьей краевых задач. Признак сравнения для первой краевой задачи. Признак сравнения для третьей краевой задачи. Общий признак сравнения для общего нелинейного параболического оператора.
Лекция 3. Параболические пространства Гельдера и их свойства. Оценки Бернштейна. Теорема типа Лиувилля. Понятие об априорных оценках Шаудера. Метод продолжения по параметру и однозначная разрешимость в параболическом пространстве Гельдера первой краевой задачи.
