РУС/ENG
Кафедра математики
физического факультета МГУ
Архив: 2023 - 2024

Основы математического моделирования в гидро- и газодинамике

Лекторы
Отчётность
зачет
Содержание курса

1.    Введение.

Понятие математической модели. Сплошные среды и способы их описания. Переменные Эйлера и Лагранжа. Основные уравнения: общее уравнение движения жидкого объема, уравнение неразрывности.

 

2.    Математические модели идеальных сред.

Понятие идеальной жидкости. Уравнение Эйлера. Модели идеальных несжимаемых, баротропных и бароклинных сред. Постановка внутренних и внешних начально-краевых задач гидродинамики идеальных сред. Условия на твердой непроницаемой и свободной поверхности.

 

3.    Математические модели вязких сред.

Понятие вязкой жидкости. Закон Навье-Стокса. Модели вязких несжимаемых, баротропных и бароклинных сред. Внешние и внутренние задачи гидро- и газодинамики с учетом вязкости. Условия на твердой непроницаемой поверхности, на поверхности раздела двух сред с различными физическими характеристиками и на свободной поверхности.

 

4.    Примеры модельных задач и некоторые аналитические методы их исследования.

4.1.  Точные решения уравнений гидродинамики.

Плоские задачи о движении тел в идеальной жидкости. Плоское потенциальное движение, комплексная скорость и комплексный потенциал. Примеры плоского потенциального движения в односвязных и двухсвязных областях (однородный поступательный поток, источник (сток), диполь, вихревая точка). Общая постановка задачи о движении цилиндра с произвольным гладким сечением в идеальной жидкости. Движение и обтекание кругового цилиндра. Применение метода конформных отображений при решении плоских задач гидродинамики.

Распределение скоростей в идеальной несжимаемой жидкости при ускоренном движении сферы: математическая модель и алгоритм решения.

Моделирование стационарных течений вязкой однородной жидкости в трубах с различными сечениями: течение в трубах с круговым и эллиптическим сечениями, течение в трубе с прямоугольным сечением и в плоском канале с твердыми стенками.

Нестационарное течение вязкой однородной жидкости в трубе с круговым сечением: математическая модель и алгоритм решения.

Моделирование одномерных нестационарных слоистых течений: тангенциальный разрыв, движение твердой поверхности, течение под действием касательного напряжения.

4.2. Приближенные методы интегрирования уравнений гидродинамики.

Предельные случаи больших и малых чисел Рейнольдса. Линеаризация уравнений гидродинамики в случае малых чисел Рейнольдса: двумерное течение вязкой жидкости между бесконечными пластинами, медленное движение сферы в вязкой среде. Течения, характеризуемые большими числами Рейнольдса: уравнения Прандтля и автомодельные решения. Примеры модельных задач: обтекание полубесконечной пластины и течение в суживающемся канале.

Методы линеаризации уравнений гидродинамики. Акустические колебания в идеальных и слабовязких средах: звуковые колебания идеального разреженного газа в ограниченной области; асимптотическое решение линеаризованных задач о свободных и вынужденных колебаниях газа с малой вязкостью. Явление резонанса. Асимптотический анализ в задаче моделирования малых колебаний стратифицированной среды с малой вязкостью в приближении Буссинеска. Метод Люстерника-Вишика.

Основная литература
  1. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Часть 1, 2. М.: ФМГИЗ, 1963.
  2. Ламб Г. Гидродинамика. Ижевск: РХД, 2003.
  3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
  4. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течения вязкой жидкости. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.
  5. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Из-во МГУ, 1999.
  6. Б.М. Будак, С.В. Фомин. Кратные интегралы и ряды. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
  7. М. А. Давыдова. Лекции по гидродинамике. –М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011.
  8. В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов, Е. В. Федотова. Асимптотическое решение линеаризованной задачи о распространении звука в ограниченной среде с малой вязкостью. //Вычисл. матем. и матем. физ. 1987. 27. №2. С. 226-236.
  9. В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов, Е. В. Полежаева. Асимптотическое решение линеаризованных задач о собственных и вынужденных резонансных колебаниях среды с малой вязкостью. //Вычисл. матем. и матем. физ. 1989. 29. №7. С. 1023-1035.
  10. К. А. Велижанина, Е.А. Вожукова, Н. Н. Нефедов. О влиянии вязкости и теплопроводности среды на характеристики цилиндрического резонатора. // Акустический журнал. 1986. 32. №1. С. 114-116.
  11. N. Nefedov. On some singularly perturbed problems for viscous stratified fluids. - Journal of mathematical analyses and applications, 1988. 131, №1, p. 118-126.
Материалы по курсу