Асимптотические методы в нелинейных задачах математической физики

• Нефёдов Николай Николаевич

Курс лекций состоит из двух разделов. Первый посвящен методам асимптотическим методам в сингулярно возмущенных задачах с пограничными и внутренними слоями. Наряду с классическими результатами, включающими теорему Тихонова о предельном переходе, метод пограничных  функций А.Б. Васильевой, теоремы Чаплыгина  и Нагумо, метод Вишика – Люстерника и другие результаты излагаются современные достижения теории сингулярных возмущений  в исследовании контрастных структур, а также применения в прикладных задачах.

Второй раздел посвящен исследованию сингулярно возмущенных задач на основе метода осреднения. В нем приводятся теоремы Н.Н. Боголюбова, излагаются  алгоритмы построения асимптотического решения системы в стандартной форме, системы с быстрой фазой,  системы с несколькими быстрыми фазами, для которых исследуется поведение решения вблизи резонанса.

1. Методы исследования решений с внутренними и пограничными слоями. Основные понятия. Регулярные и сингулярные возмущения. Асимптотическое приближение по параметру. Сходящиеся и асимптотические ряды. Формальная асимптотика – асимптотика по невязке.
2. Сингулярно возмущенные начальные задачи для ОДУ. Теорема Тихонова. Метод пограничных функций. Теорема Чаплыгина и асимптотический метод дифференциальных неравенств.
3. Сингулярно возмущенные задачи в случае смены устойчивости. Сингулярно возмущенные задачи в критическом случае. Применение асимптотических методов в задачах химической кинетики..
4. Сингулярно возмущенные краевые задачи для ОДУ. Краевые задачи Неймана и Дирихле. Теоремы Нагумо и асимптотический метод дифференциальных неравенств
5. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения с частными производными. Метод Вишика – Люстерника. Метод угловых пограничных функций.
6. Асимптотическая теория контрастных структур. Построение асимптотических приближений решений с внутренними и пограничными слоями – контрастных структур для ОДУ и уравнений с частными производными
7. Доказательство существования и вопросы устойчивости контрастных структур.
8. Метод осреднения. Системы в стандартной форме по Н.Н. Боголюбову. Редукция квазилинейного уравнения колебаний к системе в стандартной форме. Стационарные амплитуды и их устойчивость. Алгоритм построения асимптотического решения. Определение коэффициентов. Способы вычисления средних значений. Определение коэффициентов. Способы вычисления средних значений..
9. Первая теорема Н.Н. Боголюбова. Стационарные амплитуды и автоколебательные режимы. Исследование устойчивости автоколебательных режимов. Формулировка второй теоремы Н.Н. Боголюбова. Системы с медленным временем и редукция таких систем к системе с быстрой фазой.
10. Системы с быстрой фазой. Редукция квазилинейного уравнения колебаний к системе с быстрой фазой. Алгоритм построения асимптотического решения. Определение коэффициентов. Результаты теорем о первом и втором приближениях для системы с быстрой фазой. Стационарные амплитуды и автоколебательные режимы. Системы с несколькими быстрыми фазами. Резонанс. Редукция квазилинейного уравнения колебаний с периодическим внешним воздействием к системе с двумя быстрыми фазами. Нерезонансный случай. Понятие резонанса. Поведение средних вблизи резонанса. Малые знаменатели. Фазовая расстройка. Стационарные резонансные режимы и их устойчивость.

1. А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. Асимптотические методы в теоpии сингуляpных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.
2. А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундамент. и прикл. матем. 1998. Т. 4. С. 799.
3. Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.
4. В.М. Волосов, Б.И. Моргунов. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971.
5. В.Ф. Журавлев, Д.М. Климов. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.
6. А.Б. Васильева, Н.Н. Нефедов. Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина. (Некоторые разделы курса лекций «Дифференциальные уравнения»). Учебное пособие. Физ. Фак. МГУ. 2007.
7. А.Б. Васильева, Н.Н. Нефедов. Нелинейные краевые задачи. Учебное пособие. Физ. Фак. МГУ. 2006.
8. В.Ф. Бутузов, Н.Н.Нефёдов, В.Т.Волков, Н.Т. Левашова, Е.В.Полежаева. Асимптотические методы в примерах и задачах
9. В.Ф. Бутузов, Н.Н.Нефёдов, В.Т.Волков, Н.Т. Левашова, Е.В.Полежаева. Введение в теорию сингулярных возмущений лекции