Экстремальные задачи

В курсе изложены основные понятия выпуклого программирования с приложениями в теории некорректных задач.

Читается в 10-ом семестре.
2 часа лекций в неделю

• Ягола Анатолий Григорьевич

В курсе изложены основные понятия выпуклого программирования с приложениями в теории некорректных задач. Изучены свойства и рассмотрен вопрос о разрешимости задачи выпуклого программирования в гильбертовом (и рефлексивном банаховом) пространстве. Сформулированы необходимые и достаточные условия выпуклости и сильной выпуклости дифференцируемых по Фреше функционалов. Рассмотрены наиболее популярные методы минимизации (методы скорейшего спуска, Ньютона, Ньютона-Гаусса, сопряженных градиентов, проекции сопряженных градиентов, условного градиента и др.).

Даны некоторые основные понятия и результаты Тихоновской теории линейных и нелинейных некорректных задач. Изучены численные методы регуляризации некорректных задач, основанные на методах минимизации невязки и функционала А.Н.Тихонова.

Программа курса:

1. Постановка задач математического программирования. Задачи первого и второго типа. Разрешимость задач. Теорема Вейерштрасса. Выпуклые, строго выпуклые и сильно выпуклые функционалы. Разрешимость задачи выпуклого программирования в гильбертовом пространстве. Существование экстремума сильно выпуклого функционала на выпуклом замкнутом неограниченном множестве. Квадратичное и линейное программирование.
2. Необходимые и достаточные условия экстремума дифференцируемого функционала. Необходимые и достаточные условия выпуклости и сильной выпуклости дифференцируемых функционалов. Применение к задаче псевдообращения.
3. Численные методы отыскания минимума выпуклых дифференцируемых функционалов. Задача без ограничений. Метод скорейшего спуска. Методы сопряженных направлений. Метод сопряженных градиентов. Метод Ньютона и его модификации. Метод Ньютона-Гаусса.
4. Численные методы отыскания минимума выпуклых дифференцируемых функционалов. Задача с ограничениями. Метод условного градиента. Метод проекции сопряженных градиентов.
5. Некорректно поставленные задачи. Понятие регуляризирующего алгоритма. Линейное операторное уравнение первого рода как пример некорректной задачи.
6. Понятие квазирешения. Существование квазирешения. Примеры компактов. Численные методы отыскания квазирешений линейных некорректных задач на множествах монотонных и выпуклых функций. Оценка погрешности.
7. Некорректные задачи при условии истокообразной представимости решения. Метод расширяющихся компактов и апостериорная оценка погрешности.
8. Регуляризирующий алгоритм, основанный на минимизации функционала А.Н.Тихонова и обобщенном принципе невязки выбора параметра регуляризации. Численные методы. Эквивалентность обобщенного принципа и обобщенного метода невязки.
9. Нелинейные некорректные задачи. Регуляризирующие алгоритмы их решения. Кусочно-равномерная регуляризации. Метод минимальной псевдообратной матрицы.
10. Применение регуляризирующих алгоритмов к решению обратных задач математической физики.

Литература:

1) Основная:

1. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.
2. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.
3. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.
4. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.
5. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

2) Дополнительная:

1. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.
2. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.
3. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982.
4. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.