Приложения спектральной теории операторов в математической физике

Спектральная теория операторов является математической основой для изучения задач атомной физики, акустики и электродинамики. Знание методов качественного анализа спектральных задач для дифференциальных уравнений необходимо как при аналитических, так и численных исследованиях.

В лекционном курсе изучаются основные факты спектральной теории операторов и их приложения к исследованию спектра оператора Шредингера и оператора Лапласа в областях с некомпактной границей. Студенты знакомятся с техникой применения соболевских пространств, теорем вложения, минимаксных оценок и теории неограниченных операторов к исследованию дискретного и непрерывного спектра.

1. Основные положения спектральной теории операторов с компактной резольвентой. Некоторые вопросы теории несамосопряженных операторов.
2. Некоторые теоремы вложения для соболевских пространств. Метод слабых решений и его применение в спектральной теории эллиптических операторов.
3. Принцип минимакса для самосопряженных компактных операторов и его приложения.
4. Вариационное описание собственных значений эллиптических операторов. Теоремы Вейля.
5. Асимптотика спектра самосопряженных эллиптических операторов.
6. Дискретный спектр оператора Лапласа в полуограниченных областях.
7. Спектр оператора Лапласа в областях с некомпактной границей.
8. Спектральная теорема для ограниченных самосопряженных операторов.
9. Спектральная теорема для неограниченных самосопряженных операторов.
10. Расширения симметрических полуограниченных операторов. Метод Фридрихса.
11. Расширения симметрических операторов. Индексы дефекта. Метод Фон Неймана.
12. Основные положения теории возмущений самосопряженных операторов. Теорема Вейля.
13. Принцип минимакса для неограниченных самосопряженных операторов. Дискретный спектр оператора Шредингера с финитным потенциалом.
14. Принцип Бирмана-Швингера. Собственные значения оператора Шредингера и оператора Лапласа в областях с некомпактной границей, погруженные в непрерывный спектр.
15. Разложение по обобщенным сосбственным функциям самосопряженного оператора.

1. И.М. Глазман. Прямые методы качественного анализа сингулярных дифференциальных операторов 2-го прорядка. М.: Физ.-мат. лит., 1963.
2. Ф.А. Березин, М. Шубин. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во МГУ, 1983.
3. Ф. Рисс, Б.З. Секефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1955.
4. F. Rellich. Das Eigenwertproblem von in Halbrohren. // Studies and essays presented to R. Courant. 1948. P. 329.
5. D.S. Jones. The eigenvalues of $ \nabla^2 u + \lambda u = 0 $ when the boundary conditions are on semi-infinite domains. // Proc. Camb. Soc. 1953. V. 49. P. 668.
6. D.V. Evans, M. Levitin, D. Vassiliev. Existence theorems for trapped modes // J. Fluid Mech. 1994. V. 261. P. 21.